Filtros FIR – Finite Impulse Response

Filtros Digitais

O processo de filtragem de sinais pode ser realizado digitalmente, na forma esquematizada pelo diagrama apresentado a seguir:

O bloco conversor A/D converte o sinal de tempo contínuo x(t) em uma sequência x[n]. O filtro digital processa a sequência x[n], resultando em outra sequência y[n], que representa o sinal filtrado na forma digital. Este sinal y[n] é então convertido para um sinal de tempo contínuo por um conversor D/A e reconstruído através de um filtro passa-baixas, cuja saída é o sinal y(t), que representará a versão filtrada do sinal x(t).

Os filtros digitais são caracterizados em duas classes, dependendo da duração da sequência y[n] quando aplicado em sua entrada um sinal do tipo impulso. Nesse material somente será tratado sobre o filtro FIR (Finite Impulse Response) e a segunda classe o filtro IIR (Infinite Impulse Response) será tratado em outro material.

Filtros Digitais cuja resposta ao impulso apresenta duração finita (FIR – Finite Impulse Response)

Estes filtros apresentam a seguinte função de transferência discreta:

 que pode ser reescrito como uma função polinomial com potências negativas de z.

Características

-> Memória finita, portanto qualquer transitório tem duração limitada;

-> São sempre BIBO^* estáveis;

-> Podem implementar uma resposta em módulo desejada com resposta em fase linear.

* O sistema será BIBO estável (Bounded Input Bounded Output) se para todo sinal de entrada limitado implicar em um sinal de saída limitado.

 Diagrama de Blocos Filtro FIR

Projeto de Filtros FIR

Uma vez que os filtros FIR apresentam resposta em frequência com fase linear, o projeto deste filtros resume-se a aproximar a resposta em módulo desejada.

Admitindo h[n] como sendo a resposta ao impulso de um filtro FIR, sendo H(ejΩ) a transformada discreta de Fourier de h[n]. Uma vez definida a ordem do filtro, por exemplo M, deve-se então determinar os ak , k=0,1,…,M, coeficientes do filtro.

O objetivo na determinação dos coeficientes é que H(ejΩ) forneça uma boa aproximação de Hd(ejΩ), que é a função resposta em frequência desejada ao longo do intervalo de frequências –π < Ω ≤ π. Uma forma de avaliar a qualidade desta aproximação é através do erro médio quadrático entre hd[n] e h[n], ou seja:

                                                

Os únicos parâmetros ajustáveis na equação anterior são os coeficientes do filtro H(ejΩ), ak , k=0,1,…,M, sendo a medida do erro minimizada fazendo

 A relação apresentada anteriormente equivale ao uso de uma janela retangular definida por

 Portanto 

             

que conhecido como o método da janela.

A convolução de W(ejΩ) com Hd(ejΩ) resulta em uma aproximação oscilatória da função resposta em frequência desejada por H(ejΩ) do filtro FIR. Tais oscilações podem ser reduzidas modificando-se a janela a ser utilizada.

Resposta em frequência da janela retangular.

Uma janela comumente utilizada é a janela de Hamming, definida por

Característica da janela de Hamming

Resposta de frequência das duas janelas

Pelo apresentado nas curvas de resposta em frequência das duas janelas conclui-se:

* O lóbulo principal da janela retangular tem aproximadamente a metade da largura do lóbulo principal da janela de Hamming;

* A magnitude dos lóbulos laterais da janela de Hamming são bem mais reduzidos se comparados com o da janela retangular.

Segue abaixo exemplo para comparação entre as duas janelas :

Exemplo:

Considere a resposta em frequência desejada

que representa a função resposta em frequência de um filtro passa baixas ideal, com fase linear. Avaliar a resposta em frequência para M=12, Ωc=0.2π, sendo:

(a) janela retangular

(b) janela de Hamming.

 Solução:

 Coeficientes normalizados para | H(z) |z=1 = 1