Transformada Z

Introdução

 A Transformada de Fourier de Tempo Discreto (TFTD) desempenha um papel relevante na representação e análise de sinais e sistemas discretos. A Transformada Z é uma generalização da TFTD.

A TZ está para os sinais discretos assim como a Transformada de Laplace está para os sinais analógicos e ambas estão relacionadas com a TF correspondente.

A TFTD não existe para todas as sequências e é importante ter uma generalização que engloba uma classe mais ampla de sinais.

A TZ proporciona a utilização da teoria de variáveis complexas em questões de Processamento Digital de Sinais.

Definição - A Transformada Z da seqüência x[n] é:

onde Z é uma variável complexa.

Note que a TFTD pode ser obtida da TZ simplesmente fazendo-se:

ou seja , 

                

Esta é a razão para a notação X(e^jw) para a TFTD.

Assim, quando a TFTD existe, ela é obtida de X(Z) fazendo-se Z = e^jw.

Portanto, quando |Z| = 1, a TZ corresponde a TFTD.

Notação :

Região de Convergência

Sendo a TZ uma função de variável complexa, é conveniente representá-la no plano Z complexo.

Neste, plano, a região |Z| = 1 corresponde ao círculo de raio unitário.

Os valores de Z para os quais a TZ existe (ou a série converge) definem uma região chamada Região de Convergência (ROC).

Pólos e Zeros

A TZ é muito útil quando a série infinita tem uma forma fechada do tipo

 onde P(Z) e Q(Z) são polinômios em Z.

As raízes de P(Z) e Q(Z) são chamadas, respectivamente, de ZEROS e PÓLOS de X(Z) .

Propriedades da Região de Convergência

A região de convergência (ROC) traz algumas propriedades:

1) A ROC é um anel ou disco no Plano Z com centro na origem.

2) A TF da seqüência x[n] converge absolutamente se e somente se a ROC da TZ contém o círculo unitário.

3) A ROC não pode conter pólos.

4) Se x[n] é uma seqüência de duração finita, a ROC é todo plano Z.

5) Se x[n] é causal (right-sided), a ROC estende-se para além dos pólos mais externos, possivelmente tendendo a infinito.

6) Se x[n] é não causal (left-sided), a ROC extende-se para uma região menor que o menor pólo até zero.

7) Se x[n] é uma seqüência com componentes parte causal e parte não-causal, então a ROC é um anel.

8) A ROC é uma região conectada.

Propriedades da Transformada Z

Notação:

T1. Linearidade

T2. Deslocamento no Tempo

T3. Multiplicação por uma Seqüência Exponencial

T4. Diferenciação na Freqüência

                          

T5. Inversão no Tempo

 T6. Convolução

T7. Valor Inicial

Se x[n] é causal

As Tz mais importantes são as dadas por uma função racional dentro da ROC, uma vez que seus coeficientes são usados na construção de filtros.

X(z) = P(z) -> zeros de x(z) => raízes de P(z)

           Q(z) ->pólos de x(z) => raízes de Q(z)