Processamento Digital de Sinais: Séries de Fourier (Teorema de Fourier)

Jean-Baptiste Joseph Fourier desenvolveu um teorema que mostra que toda forma de onda periódica pode ser decomposta em ondas senoidais, com frequências que são múltiplos inteiros da freqüência fundamental da forma de onda original. Essas senóides são chamadas de harmônicas. São harmônicas pares, se os multiplicadores da frequência forem pares e harmônicas ímpares para os multiplicadores ímpares. Para ilustrar esse teorema, podemos aplicá-lo a uma onda quadrada de frequência ω, conforme pode ser observado na Figura 1.

As harmônicas são todas ímpares e sua amplitude é dividida pelo índice da harmônica. Para ilustrar melhor esse exemplo, observe a Figura 2, onde foram somadas progressivamente as harmônicas de índices até 5, 11 e 49. Na Figura 2 é possível observar também que a somatória das harmônicas ilustradas ainda não formou uma onda quadrada perfeita. Para isso seria necessário realizar uma soma de infinitas harmônicas.

Abaixo estão listadas algumas propriedades importantes das transformadas de Fourier e das correspondências bilaterais entre os domínios do tempo e da freqüência. Estas propriedades permitem muitas vezes avaliar, se determinadas operações são melhores de serem realizadas no domínio do tempo ou no domínio da frequência, sem que o resultado das operações seja alterado.

Definindo que há a correspondência: f(k) ↔ F(n)

onde f(k) é uma função no tempo contínuo e F(n) a sua transformada de Fourier no domínio da frequência.

Temos as seguintes propriedades:

Operação Função Transformada

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Linearidade αf(k) + βw(k) αF(n) + βW(n)

Deslocamento no tempo f(k-k_d) F(n)e^-jwt_d

Alteração de escala f(αk) 1/|α| F(n/α)

Dualidade f(k) F(-n)

Convolução f * w(k) F(n)W(n)

Multiplicação f(k)w(k) F*W(n)

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Transformadas Discretas de Fourier – DFT (Discrete Fourier Transforms)

A transformada discreta de Fourier (DFT) é equivalente à transformada de Fourier, porém é aplicada a sinais do tempo discretizados, ou amostrados. É a principal ferramenta que se utiliza em processamento digital de sinais. Essa transformada revela o espectro do sinal discretizado, mostrando as senóides que compõem o sinal original, com suas amplitudes e fases. A principal diferença com relação à transformada de Fourier original é que o espectro é composto pelo mesmo número de frequências discretas que o número de amostras ao qual foi aplicada a transformada. Essas frequências são chamadas de raias. São como “janelas” que mostram o nível de sinal, se é que há algum, dentro dos seus limites.

A Figura 3 apresenta uma forma de onda quadrada discreta, com 32 amostras, destacadas como pontos vermelhos. As 32 amostras correspondem a 2 ciclos completos da onda.

As propriedades similares àquelas da transformada de Fourier são demonstráveis para a DFT. Em particular:

Linearidade

Simetria

Deslocamento no Tempo

Teorema da Convolução em Freqüência

Teorema de Parseval

As amostras da DFT são periódicas, verificando as relações:

Quando se deseja trabalhar com os valores de freqüência e tempo, usa-se:

ao invés da notação simplificada f(k) ↔ F(n).

Um aumento na quantidade N de amostras consideradas e uma escolha do tempo de amostragem (Ts) implicam em uma melhor representação do espectro.

Transformadas rápidas de Fourier - FFT

As transformadas rápidas de Fourier, mais conhecidas por FFT (Fast Fourier Transforms) foi implementada com o objetivo de diminuir complexidade (temporal) necessária para calcular uma DFT (Transformada Discreta de Fourier), visando aplicações em tempo real. Existem inúmeras variantes desses algoritmos, cada um otimizando o desempenho para um tipo de resultado diferente que se espera obter no final.

O número de operações realizadas no cálculo da DFT através da definição é proporcional à N2, i.é., para cada um dos N valores de u, a expansão de F(u) requer N multiplicações complexas de x(n) por Wux além de (N-1) adições dos resultados.

Alguns dos termos podem ser computados uma vez e armazenados para serem usados em operações futuras. Logo tais multiplicações de x(n) não são consideradas na implementação.

Algumas decomposições apropriadas na Eq.1 podem tornar o número de multiplicações e adições proporcionais a N.Log2N.

Este procedimento é denominado de Transformada Rápida de Fourier ou

FFT (Fast Fourier Transform).

Há situações em que o sinal analógico e contínuo, ao qual será aplicada a transformada de Fourier discreta, é nitidamente periódico, mas devido a um efeito indesejável causado pelo ponto em que se inicia a amostragem, o sinal apresenta descontinuidades nas suas extremidades, causando o aparecimento de frequências inexistentes ou espúrios no espectro desse sinal, que na prática traduz-se na forma de um ruído de fundo. Na Figura 4, o sinal a ser analisado, ilustra esse efeito. Na Figura 5 ilustra o espectro resultante se forem tomados todas as amostras desse sinal conforme mostradas na Figura 4.

Se for reduzido o número de amostras, o sinal amostrado fica conforme ilustrado na Figura 6, e o respectivo espectro normalizado na Figura 7

Para minimizar esse efeito indesejável foram criadas as técnicas de janelamento. Existem muitos tipos de janelamento, algumas listadas a seguir:

Retangular;
Triangular;
Hanning;
Hamming;
Kaiser-Bessel;
Flattop;
Blackman.

Cada janela tem suas características próprias e realça alguma característica do espectro, quando aplicada. O importante é frisar que o janelamento não distorce o conteúdo espectral do sinal, apenas realça algumas partes.

Veja a aplicação da janela de Hanning ao exemplo ilustrado anteriormente. A janela de Hanning é uma das janelas mais utilizadas em processamento digital de sinais. Na Figura 8 pode-se observar o formato da janela de Hanning. Na Figura 9, o efeito produzido pelo janelamento, em que as amostras da janela e as amostras do sinal são multiplicados um a um. Na Figura 10 pode-se observar o espectro resultante dessa operação sobre a senóide com descontinuidade. O efeito sobre o espectro praticamente eliminou o ruído de fundo desse espectro.