Filtros IIR - Infinite Impulse Response

Na postagem anterior foi tratada a primeira classe dos filtros digitais, agora nesse material será tratada a segunda classe dos filtros digitais, filtros IIR

Filtros Digitais cuja resposta ao impulso apresenta duração infinita (IIR – Infinite Impulse Response)

que também pode ser reescrito como uma função racional com potências negativas de z.

No filtro IIR as características de entrada e saída são regidas por equações lineares de diferenças com coeficientes constantes de natureza recursiva, conforme pode se observar na figura a seguir.

Observa-se que no diagrama de blocos do filtro IIR, os termos , k=0,1,…,M , e os termos , j=1,…, N, são os termos da função de transferência Y(z)/X(z), normalizados pelo termo b0 .

Diagrama de Blocos

Projeto de Filtros IIR

Uma das formas de projetos de filtros digitais do tipo IIR é através da aproximação entre funções de transferências contínuas por funções de transferências discretas equivalentes. Desta forma, considera-se a seguinte aproximação em tempo discreto da função integração.

Aplicando na equação anterior o operador z, obtém-se:

implicando na seguinte aproximação:

De forma semelhante pode-se representar z em função de s, ou seja

Admitindo s=σ+jω pode-se definir regiões do Plano s e suas regiões equivalentes no Plano z.

Ou seja:

Portanto, tem-se:

 

Resultando nas seguintes propriedades para este tipo de aproximação:

1. O semiplano esquerdo do Plano s é mapeado no interior do círculo de raio unitário no Plano z;

2. O eixo jω é inteiramente mapeado sobre o circulo de raio unitário do Plano z;

3. O semiplano direito do Plano s é mapeado no exterior do círculo de raio unitário no Plano z.

Uma implicação imediata da propriedade 1 é que se o filtro analógico representado pela função de transferência Ha(s) for estável e causal, o filtro digital dele derivado através da transformação bilinear será garantidamente estável e causal.

Para σ = 0, tem-se Ω = 2 tg-1(ωT/2), concluindo-se que a faixa de frequência -∞ < ω < ∞, é comprimida em uma faixa finita de frequências contida no intervalo –π < Ω < π de um filtro digital. Esta forma de distorção não linear é conhecida como warping.

Tal distorção de fase pode ser compensada no projeto do filtro analógico através de um procedimento denominado pré-warping. Especificamente, para as frequências críticas (frequências de corte para a faixa de passagem e de rejeição), o procedimento de pré-warping é realizado de acordo com a relação:

Exemplo

Usando um filtro analógico com uma função de transferência de Butterworth de ordem 3, projetar um filtro IIR passa baixas com frequência de corte Ωc= 0.2π .

Projetos de Filtros IIR – Curva de Magnitude

Projetos de Filtros IIR – Resposta ao Impulso